Ахиллес и черепаха — одна из самых известных апорий (парадоксов) Зенона Элейского. Дошла до нас через «Физику» Аристотеля и комментарии Симпликия.

Идея парадокса

Быстроногий Ахиллес никогда не сможет догнать черепаху. Пусть в начале движения их разделяет расстояние a, и Ахиллес бежит в k раз быстрее черепахи. Пока Ахиллес пробежит этот промежуток длиной a, черепаха успеет отползти от него на расстояние a / k. Когда Ахиллес пробежит и этот промежуток a / k, черепаха уползет на расстояние a / k 2, и так далее. Таким образом, Ахиллес никогда не догонит черепаху, так как между ними всегда будет некоторое расстояние.

Разъяснение парадокса с точки зрения современной математики

Промежуток времени, который необходимо преодолеть Ахиллесу от начальной точки движения к той точке, где он догонит черепаху, в изложении парадокса разбивается на бесконечное количество отрезков. Из того, что количество этих отрезков бесконечна, делается вывод, что сумма их величин также бесконечна, то есть Ахиллес «всегда» будет отставать от черепахи и «никогда» ее не догонит. Этот вывод, что подается как очевидный, на самом деле ошибочно: величины промежутков времени образуют нисходящую бесконечную геометрическую прогрессию со знаменателем q = 1 / k (q <1), сумма членов которой не растет до бесконечности, а стремится к определенной конечной величины. Пусть t 1 — время, за которое Ахиллес пробегает расстояние a (t 1 = a / v, где v — скорость Ахиллеса). Тогда суммарный время, за которое Ахиллес пробегает n отрезков, равна

T n = t 1 + t 2 + t 3 … + t n = t 1 (1 + q + q 2 + … + q n).

Сумма n членов геометрической прогрессии равна:

Ахиллес и черепаха ;

когда n стремится к бесконечности, сумма T n Не растет неограниченно, а стремится к величине

Ахиллес и черепаха при Ахиллес и черепаха .

Например, если Ахиллес бежит в 10 раз быстрее черепахи (q = 1/10), он догонит ее за время, равное T = 10/9 * (a / v) если Ахиллес бежит со скоростью современного спринтера 10 м / с (36 км / ч), а начальная расстояние до черепахи равна 90 м, Ахиллес догонит ее ровно за 10 секунд в точке на расстоянии 100 м от точки старта.

Таким образом, правильная формулировка утверждения апории должен звучать так.

Ахиллес никогда не догонит черепаху, пока ее не догонит.

В монографии А. Вугальтера «Ваше открытие общества, или философский вояж». — М .: March-A, 1995. — 143 с. — Способ доказывания, которым пользуется Зенон элеатов, рассмотрен с логико-гносеологических позиций. Приведем пример иного свойства, формально тождественной апории Зенона «Ахиллес никогда не сможет догнать свою тень, потому что каждый раз, как только Ахиллес достигнет того места, где находится его тень, последняя сместится вперед (на то же расстояние)». Мы видим, что и сама логическая конструкция, абсурдна в применении к явлению одного свойства, может служить адекватной моделью для другого рода явлений. Одновременно, если бы логика была прообразом мышления, как это утверждает традиционная философия, а не моделью объективных явлений, то она должна по своему понятием в равной степени касаться любого суждения, то есть быть определенной на всей предметной области. Но тогда Ахиллес действительно не смог бы догнать черепаху.

Логика Зенона «сработала» бы правильно, если бы черепаха двигалась с той же скоростью, что и Ахиллес. Если же черепаха движется медленнее, то Ахиллесу на каждом шагу требуется все менее и менее времени, чтобы добраться до того места, где перед этим она находилась. Общее время, необходимое Ахиллесу, чтобы догнать черепаху, состоит из бесконечного числа слагаемое временных отрезков, где каждый следующий отрезок времени тем меньше предыдущего, чем больше попыток сделает Ахиллес. Но тогда вопрос, сможет догнать Ахиллес черепаху или нет, совсем НЕ МОЖЕТ ИМЕТЬ логический характер, поскольку речь идет о количественном, а не качественное сопоставление величин. (То есть, эти соображения не решают апории. Напротив, они указывают на то, что возможность применения логики имеет определенные границы). Но и качественный подход имел бы смысл (хотя и с неопределенным исходом), если бы в формулировке Зенона явным способом фигурировало бы понятие времени.

Таким образом, если формальная логика всеобъемлющая — значит, что можно доказывать что-либо (на чем настаивали софисты). Такой подход лишает логику эвристического смысла.

Интересно отметить живучесть соображений по Зеноном элеатов. Так, современная сравнительная экономика утверждает: «страна отстает в развитии, должна догнать и перегнать развитую, если ТЕМП РОСТА ВВП первой выше темп роста второй». Действительно, темп передвижения черепахи явно выше темп передвижения быстроногого Ахиллеса (знаменатель в формуле темпа движения черепахи значительно больше Ахиллес) поэтому, согласно экономической логике, черепаха со временем имеет его перегнать.

Видео по теме