Парадокс Белла — один из известных релятивистских парадоксов специальной теории относительности, связанный с невозможностью определения понятия "абсолютно твердого тела" в пространстве-времени теории относительности. В известном варианте самого Белла парадокс возникает при рассмотрении мысленного эксперимента, включающего в себя два космических корабля, ускоряются в одном и том же направлении и максимально натянутую струну что их соединяет (один корабль летит строго впереди другого, то есть ускорение направлено вдоль струны ). Если корабли начнут синхронно ускоряться, то в сопутствующей кораблям системе отсчета расстояние между ними начнет увеличиваться и струна разорвется. С другой стороны, в системе отсчета, в которой корабли сначала были неподвижными, расстояние между ними не увеличивается, и поэтому струна разорваться не должна. Какая точка зрения правильная? Согласно теории относительности, первая — разрыв струны.

Хронологически первое упоминание парадокса содержится в работе Е. Девана и М. Берана в 1959 году, которые рассматривали результат подобного мысленного эксперимента как подтверждение реальности релятивистского сокращения тел.

Мысленный эксперимент Белла

В версии Белла два космических корабля, сначала являются неподвижными относительно некоторой инерциальной системы отсчета (ИСО), соединяются натянутой струной до предела. В нулевой момент времени по часам соответствующих ИСО оба корабля начинают ускоряться с постоянным собственным ускорением, измеряемым проводится размещенными на борту каждого корабля акселерометрами. Вопрос в том, разорвется струна, то есть увеличится расстояние между кораблями?

Согласно мнению Белла и Берана, в системе отсчета, в которой сначала корабли были неподвижными, расстояние между ними будет оставаться неизменной, но длина струны будет испытывать релятивистское сокращение, так что в определенный момент времени струна разорвется.

Против такого решения проблемы были выдвинуты возражения, которые затем, в свою очередь, были подвергнуты критике. Например, Пол норок (англ. Paul Nawrocki) предполагал, что струна не должна разорваться, в то время как Эдмонд Деван (англ. Edmond Dewan) защищал свою исходную точку зрения в работе ответном Белл писал, что он встретил сдержанный скептицизм «одного известного экспериментатора »в ответ на свое изложение парадокса. Для того, чтобы разрешить спор, была проведена неформальная совещание теоретического отдела ЦЕРНа. Белл утверждает, что «четкой общим мнением» отдела стало признание того, что струна не должна разорваться. Далее Белл добавляет: «Конечно, многие люди, получившие сначала неправильный ответ, дошли до верной путем дальнейших рассуждений». Позже, в 2004 году, Мацуда и Киносита писали, что опубликованная ими в японском журнале работа, содержащая независимо переоткрыт вариант парадокса, была сильно раскритикована. Авторы, однако, не дают ссылок на критические работы, утверждая только, что они были написаны на японском языке.

Анализ

В дальнейшем анализе будем рассматривать космические корабли как точечные тела и рассматривать только длину струны. Анализ относится к случаю, когда корабли заглушают двигатели после некоторого промежутка времени. Будут использоваться Галилеевы координаты во всех инерциальных системах отсчета.

Согласно изложением Девана и Берана, а также Белла, в системе отсчета «стартовых площадок» (о которой корабли были неподвижными до начала работы двигателей и которую мы будем называть СВ S) расстояние между кораблями A и Bi — Li, должно оставаться постоянным «по определению ».

Это можно проиллюстрировать следующим образом. Смещение кораблей относительно своих исходных позиций — вдоль оси X СО S — как функция времени может быть записана в виде f (t). Эта функция, вообще говоря, зависит от функции тяги двигателей, но важно, что она одинакова для обоих космических кораблей. Поэтому положение каждого корабля как функция времени будет:

Парадокс Белла

где

Парадокс Белла при Парадокс Белла равна 0 и непрерывна при всех значениях Парадокс Белла ;
Парадокс Белла — Положение ( Парадокс Белла -координата) корабля Парадокс Белла ;
Парадокс Белла — Положение ( Парадокс Белла -координата) корабля Парадокс Белла ;
Парадокс Белла — Положение корабля Парадокс Белла при Парадокс Белла ;
Парадокс Белла — Положение корабля Парадокс Белла при Парадокс Белла .

С этого x A -x B = a 0 — b 0 что является постоянной величиной, не зависящей от времени. Такой аргумент справедлив для всех типов синхронного движения.

Таким образом, знание детального вида f (t) не является необходимым для дальнейшего анализа. Отметим, однако, что форма f (t) для постоянного собственного ускорения известна.

Рассматривая пространственно-временную диаграмму (сверху справа), можно заметить, что космические корабли прекратят ускоряться в событиях A 'и B' ', одновременно в СВ S. Очевидно также, что эти события не одновременно в СВ, сопутствующей кораблям. Это является примером относительности одновременности.

Из предыдущего ясно, что длина линии AB равна длине AB, которая, в свою очередь, совпадает с начальным расстоянием L между кораблями. Также очевидно, что скорости кораблей A и B в СВ S после окончания фазы ускоренного движения равны v. Наконец, собственная расстояние между космическими кораблями A и B после окончания фазы ускоренного движения будет равно расстоянию в сопутствующей ИСО и равной длине линии A'B ''. Эта линия является линией постоянного t '- временной координаты сопутствующей системы отсчета, связанной с координатами в СО S преобразованиями Лоренца:

Парадокс Белла

A'B '' представляет собой линию, взятую одновременно по СВ космических кораблей, то есть — для них — чисто пространственную. Поскольку интервал является инвариантом относительно преобразований СО, можно вычислить его в любой удобной системе отсчета, в данном случае в S.

Математически через координаты в СО S вышеизложенные соображения записываются так:

Парадокс Белла
Парадокс Белла
Парадокс Белла
Парадокс Белла
Парадокс Белла

Вводя вспомогательные переменные

Парадокс Белла
Парадокс Белла

и отмечая, что

Парадокс Белла

можно переписать уравнение как

Парадокс Белла

и решить его:

Парадокс Белла

Следовательно, при описании в сопутствующей системе отсчета расстояние между кораблями увеличивается в Парадокс Белла раз. Поскольку струна не сможет так растянуться, она порвется.

Белл отметил, что релятивистское сокращение тел, так же как и отсутствие сокращения расстояний между космическими кораблями в рассматриваемом мысленном эксперименте, можно объяснить динамично, используя уравнения Максвелла. Искажение межмолекулярных электромагнитных полей вызывает сокращение движущихся тел — или напряжения в них, если предотвращать их сокращению. Но между кораблями эти силы не действуют.

Контекст и родственные проблемы

Парадокс Белла очень редко упоминается в печатных учебниках по теории относительности, но иногда описывается в интернет-курсах.

Более часто в учебниках и монографиях упоминается эквивалентная задача Макса Борна о жестком движение. Вместо вопроса о расстоянии между кораблями с одинаковым ускорением, данная проблема касается вопроса о необходимом для второго корабля ускорения для сохранения постоянной расстояния между кораблями в их сопутствующей системе отсчета. Ускорение должны быть, вообще говоря, различными. Чтобы два космических корабля, которые сначала были неподвижными в некоторой ИСО, сохраняли постоянной расстояние друг от друга, передний корабль должен иметь ниже собственно ускорения.

Близкородственным задачей является также проблема синхронизации часов на одинаково ускоренных кораблях, разобранная в 1907 году Эйнштейном. Она привела его к идее о гравитационное красное смещение и гравитационное замедление времени.