Теорема о бесконечных обезьянах (в одном из многочисленных вариантов формулировки) утверждает, что среди абстрактных обезьян, случайным образом нажимают клавиши печатных машинок всегда найдется одна, что напечатает заданный текст. Например статью. Или «Лесную песню» Леси Украинский.

Теорема о бесконечных обезьянах говорит о том, что обезьяна может быть и одна, если она будет заниматься этим достаточно долго, то рано или поздно у нее получится.

Словосочетание «рано или поздно» с точки зрения теории вероятностей означает, что вероятность данного события стремится к единице, когда время стремится к бесконечности, под «обезьяной» понимают абстрактный устройство, порождает случайную последовательность элементов используемого алфавита.

Теорема раскрывает неточности в интуитивном представлении о бесконечности как о большом, но ограниченное число. Вероятность того, что обезьяна случайным образом напечатает такую ​​сложную работу, как драма Шекспира «Гамлет», настолько мала, что это вряд ли произошло бы в течение срока, прошедшего с момента зарождения Вселенной. Однако в течение неограниченно долгого промежутка времени это событие непременно произойдет (при условии, что обезьяна не умрет от старости или голода, а печатная машинка не сломается).

Если перенести данные рассуждения в обозримый масштаб, то теорема будет утверждать, что если в течение длительного времени случайным образом стучать по клавиатуре, то среди набираемого текста, будут возникать осмысленные слова, словосочетания и даже предложения. В некоторых формулировках теоремы одна обезьяна заменяется несколькими или даже бесконечным их числом, а текст варьируется от содержания целой библиотеки до отдельного предложения. Предыстория теоремы берет свое начало с работ Аристотеля («О возникновении и уничтожении») и Цицерона («О природе богов»), связанные с ней идеи встречаются в работах Блеза Паскаля и произведениях Джонатана Свифта, а также некоторых наших современников. В начале XX в. Эмиль Борель и Артур Эдингтон использовали теорему для указания временных масштабов, в которых начинают действовать законы статистической механики. Многие христианские апологеты с одной стороны, и Ричард Докинз с другой, спорят о том, какое влияние оказывает теорема о бесконечных обезьянах на идею эволюции.

Теорема, строго говоря, тривиальная и не имеет особого научного значения, ее популярность в массах вызвана видимой парадоксальностью. Интерес к теореме поддержан в литературе, телевидении, радио, музыке и Интернету. В 2003 г.. Эксперимент по проверке теоремы в полушутливой форме был проведен в реальности, в нем участвовало шесть макак. Однако, их литературный вклад составил всего пять страниц текста, содержащего чаще букву S.

Обоснование

Теоретическое объяснение

Согласно теореме об умножении вероятностей, если два события статистически независимы, то есть результат одного события не влияет на результат другой, то вероятность наступления обоих событий вместе равна произведению вероятностей этих событий. Например, если вероятность выпадения определенного числа на верхней грани игральной кости равна 1/6, а шанс выигрыша в рулетке с двойным зеро — 1/38, то вероятность выигрыша в двух играх вместе равна 1/6 1/38 = 1/228 .

Теперь предположим, что печатная машинка имеет 50 клавиш, а слово, которое должно быть напечатано — «банан». Если ударять по клавишам случайным образом, вероятность того, что первым напечатанным символом будет буква «б», равна 1/50; такая же вероятность того, что вторым напечатанным символом будет «а», и так далее. Эти события независимы; таким образом, вероятность того, что первые пять букв составят слово «банан», равна (1/50) 5. По той же причине вероятность того, что следующие 5 букв снова окажутся словом «банан», также равна (1/50) 5, и так далее.

Несложно вычислить вероятность того, что блок с 5 случайным образом напечатанных букв не окажется словом «банан». Она равна — (1/50) 5. Поскольку каждый блок печатается независимо, вероятность того, что ни один из первых n блоков по 5 букв не совпадает со словом «банан», равна:

Теорема о бесконечных обезьянах .

При увеличении n, как видно из формулы, P уменьшается.

Число блоков текста n Вероятность ненаписання слова "банан" P
1000000 99,99%
100000000 73%
1 миллиард 4%

Подобная формула применяется для любой другой строки символов конечной длины. Это показывает, почему среди бесконечно большого количества обезьян найдется такая, точно воссоздает текст любой сложности (например, «Гамлета»). В рассматриваемом примере в случае, если в эксперименте участвует миллиард обезьян, вероятность того, что ни одна из них случайным образом нажав на пять клавиш печатной машинки не наберет слово «банан» равен 4%. В том случае, когда количество обезьян n направляется к бесконечности, значение P (вероятность того, что ни одна из n обезьян не смогла воспроизвести данный текст) стремится к нулю. Если заменить слово «банан» на текст «Гамлета», показатель степени увеличится с 5 до числа символов в этом тексте, но суть от этого не изменится.

Из приведенного доказательства и происходят различные формулировки теоремы: «вероятность того, что бесконечное количество обезьян напечатают любой данный текст с первой попытки, равна 1» или «обезьяна-машинистка, работая бесконечно долго, рано или поздно напечатает каждый заранее заданный текст конечной длины (например, текст этой статьи) ». При доказательстве не было учтено, что слово «банан» может быть напечатано и между блоками случайно набранного текста, но, как легко видеть, это не сказывается на его корректности, так как здесь мы имеем дело с бесконечно большими величинами. Из-за этого же можно утверждать, помимо всего прочего, что за бесконечно большой промежуток времени абстрактная обезьяна не просто напечатает полное собрание сочинений Шекспира, но и сделает это бесконечное число раз.

Реальная вероятность

Игнорируя знаки препинания, пробелы и различия между прописными и строчными буквами, у обезьян, которые случайным образом ударяют по клавишам английского печатающей машинки, и пытаются набрать оригинальный текст Гамлета, имеется в распоряжении 26 английских букв. Вероятность набрать верно первые две буквы текста равна 1/676 = 1/261/26. Поскольку вероятность падает экспоненциально, шанс верно набрать первые 20 букв текста выпадет один раз с 26 20 = 19 928 148 895 209 409 152 340 197 376 (около 210 28). Вероятность же случайного набора всего текста с первого раза астрономически мала. Текст Гамлета содержит приблизительно 130 000 букв. Соответственно, она равна 1 / 3,410 183 946.

Подсчитано, что даже в том случае, если вся доступная для осмотра часть Вселенной была бы заполнена обезьянами, печатают в течение всего времени ее существования, вероятность набора ими одного-единственного экземпляра книги составляет однако лишь величину 1/10 183.800. По словам Киттель и Кремера «эта вероятность в любом практическом смысле равна нулю». Однако, утверждение теоремы о том, что такое событие возможно в случае бесконечного числа обезьян, «дает иллюзию, что оно состоится, если за пишущие машинки посадить очень много обезьян». Эта фраза из книги авторов о термодинамике, статистические основы впервые привлекли внимание широкого круга людей к содержанию данной теоремы.

Однако существует мнение, что подобная ситуация уже могла реализоваться в природе, причем бесконечное число раз. Рассматривая абстрактную ситуацию, которая могла бы реализоваться в ньютоновской модели Вселенной, где бесконечность отождествляется с бесконечностью, а время рассматривается как бесконечно протяженное, авторы утверждают, что в таком неограниченном объеме возникает возможность для реализации абсолютно всего, что только может быть реализовано, может произойти в любой Какая событие, и не один раз, а бесконечное число раз:

Другие формы жизни могли бы дублировать нашу, как и любые другие, снова и снова во всевозможных вариантах, причем каждая отдельная возможность повторялась бы бесчисленное число раз. Существовали бы всевозможные версии вы сейчас читаете, на всех человеческих (и не человеческих) языках, и каждая возможность реализовалась бы не в одном месте или нескольких местах, а в бесконечном числе мест.

История

Статистическая механика

Одна из форм, в которой теория вероятностей сейчас знает эту теорему, появилась в статье Эмиля Бореля "Статистическая механика и необратимость и в его книге« Случай »в 1914 Его« обезьяны »рассматривались как абстрактные генераторы случайных последовательностей букв. Борель указывал на то, что даже если миллион обезьян будут печатать 10:00 в день, крайне маловероятно, что они напечатают текст полностью совпадает по содержанию со всеми книгами всех библиотек мира. И все-таки, вероятность наступления этого события больше, чем вероятность того, что законы статистической механики нарушатся даже незначительно.

Физик Артур Эддингтон проиллюстрировал эту идею более наглядно. В книге «Природа физического мира» (1928) он писал:

Если я позволю своим пальцам просто бродить клавишами пишущей машинки, может случиться, что у меня получится напечатано какое-нибудь осмысленное предложение. Если армия обезьян будет бить по клавишам печатных машинок, они могут напечатать все книги Британского музея. Шанс, что они сделают это, определенно больше, чем вероятность того, что все молекулы соберутся в одной половине сосуда

Ненаучное происхождения

В романе Джонатана Свифта «Путешествия Гулливера» описывается изобретатель, член «Академии прожектеров» в Лагадо, что построил машину, выдает случайные сочетания всех существующих слов. Осмысленные предложения записывались, чтобы впоследствии быть включенными в «полный Компендий всех наук и искусств».

В своем эссе Борхес приводит аргументы Блеза Паскаля и Джонатана Свифта. По его словам до 1939 года содержание теоремы подается в виде такой идиомы: «Полдюжины обезьян с печатными машинками за небольшое количество вечности напечатают все книги Британского музея». Борхес от себя добавил, что, «строго говоря, одной бессмертной обезьяны было бы достаточно». Свою концепцию автор перенес в одно из коротких рассказов «Вавилонская библиотека», столь популярная в свое время среди читателей. В нем он описал невероятно объемную библиотеку, состоящую из шестиугольных залов, в которых хранятся книги со всевозможными случайными сочетаниями букв алфавита и некоторых знаков препинания:

… Библиотека всеобъемлюща. На ее полках можно найти все: подробнейшую историю будущего, автобиографии архангелов, верный каталог Библиотеки, тысячи и тысячи фальшивых каталогов, доказательство ложности правильного каталога, гностическое Евангелие Василида, комментарий к этому Евангелию, комментарий к комментарию этого Евангелия, правдивый рассказ о твоей собственной смерти , перевод каждой книги на все языки … Тысячи стремящихся оставили родные шестигранники и устремились вверх по лестнице, гонимые напрасным желанием найти свое оправдание … Действительно, Оправдания существуют (мне довелось увидеть два, касающиеся людей будущего, возможно не вымышленных), но те, кто пустился на поиски, забыли, что для человека вероятность найти свое Оправдание или какой-то его искаженный вариант равна нулю.

В массовой культуре

Теорема о бесконечных обезьянах и ее клоны, которые считаются популярной иллюстрацией математической вероятности, широко известны большинству людей чаще из популярной культуры, чем с уроков математики. Эта теорема в несколько отличном формулировке используется как шутка в романе «Автостопом по галактике» английского писателя Дугласа Адамса.

Теорема впервые была популяризована астрономом Артуром Стэнли Эддингтоном. Она стала частью идиоматических выражений благодаря научно-фантастической истории «Несокрушимая логика» (Inflexible Logic) Рассела Мэлони (Russell Maloney), где обезьяны вопреки всем законам теории вероятности безошибочно печатали одну книгу за другой. Также она упоминалась в «Автостопом по галактике» Дугласа Адамса:

— Форд! — Выговорил он, — там, снаружи, бесконечно много обезьян И они хотят обсудить с нами «Гамлета», что у них получился.