Уравнения Лотки — Вольтерры или уравнения хищник — жертва — система двух обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка, описывающей кинетику численности популяции с одним типом хищников и одним типом жертв. Характерной особенностью ривннянь является то, что их решением является автоколебания. Уравнение предложили независимо Альфред Джеймс Лотка и Вито Вольтерра, в 1925 и 1926 годах, соответственно.

Уравнения имеют вид

Уравнения Лотки-Вольтерры
Уравнения Лотки-Вольтерры

где x — количество жертв, например, зайцев, y — количество хищников, например, волков, — определенные параметры.

В уравнение входят следующие процессы: размножение жертв и их гибель в результате поедания хищниками, размножения и вымирания хищников. Считается, что размножение хищников пропорционально количеству пищи, то есть, количества потенциальных жертв в популяции.

Стационарные точки

Система уравнение имеет два стационарные точки:

  1. x = 0, y = 0 — эта точка соответствует отсутствию в популяции как жертв, так и хищников.

Анализ устойчивости стационарных точек показывает, что первая из них (нулевая) является седловой, а вторая — фокусом. Показатель Ляпунова для фокуса чисто мысленный, поэтому с линейного анализа сделать вывод об устойчивости или неустойчивости фокуса невозможно. Однако для уравнений Лотка-Вольтерра существует интеграл движения, показывает, что фазовые траектории — замкнутые кривые, внутри которых находится фокус.

Интеграл движения

Для решения уравнения Лотки-Вольтерра существует интеграл движения

Уравнения Лотки-Вольтерры

Типичные фазовые траектории показаны на рисунке справа. При значительном размножении жертв создаются условия для размножения хищников благодаря доступности пищи. Но размножения хищников приводит к уменьшению числа жертв. Когда число жертв сильно падает, хищники тоже погибают из-за недостатка пищи. Только тогда, когда количество хищников достигает минимума, популяция жертв снова начинает расти.

Существование интеграла движения приводит к тому, что величины популяций определяются начальными условиями. В этой задач не предельного цикла, который был бы аттракторов для фазовых траекторий. Циклы в задачи хищник-жертва имеют равнодушную устойчивость.

Обобщенная модель Лотки-Вольтерры

Модель Лотки-Вольтерра может быть обобщена для многих популяций (N). Для них мы имеем такие уравнения:

Уравнения Лотки-Вольтерры
Уравнения Лотки-Вольтерры

где параметры имеют такой же смысл как в модели с двумя видами организмов.

Реалистичная модель «хищник-жертва»

Главный недостаток модели Лотки-Вольтерры заключается в том, что при нулевой численности хищников популяция жертв неограниченно растет. Таким образом, в реалистичных моделях, описывающих это явление должно быть пропускная способность K — максимальное число лиц которой может достигать размер популяции. Уравнение учитывает этот фактор приведены ниже:

Уравнения Лотки-Вольтерры
Уравнения Лотки-Вольтерры

— Находятся в постоянной зависимости от модели.

Изображения по теме

  • Уравнения Лотки Вольтерры
  • Уравнения Лотки Вольтерры
  • Уравнения Лотки Вольтерры