З

Загадка пропавшего квадрата

Загадка пропавшего квадрата — это оптическая иллюзия, что часто используется на уроках математики для объяснения свойств геометрических фигур. Она изображает две фигуры, составленные из одинаковых частей, но в разном порядке, на вид прямоугольные треугольники с катетами отношением 13 до 5. Но один из них содержит пробел — квадрат 1х1.

Согласно Мартином Гарднером, головоломку придумал нью-йоркский фокусник-любитель Поль Керри в 1953 С тех пор загадка была известна под названием «Парадокс Керри», хотя решение было известно еще с 1860-х.

Решение

Ключом к загадке является то, что ни один из 13 × 5 «треугольников» не имеет ту же площадь, что и площадь их составляющих.

Суммарная площадь четырех фигур (желтой, красной, синей и зеленой) составляет 32 единицы площади, но длины сторон треугольников 13 и 5, что соответственно составляет 32,5 квадратных единиц. Отношение катетов синего треугольника 5: 2, а красного 8: 3. По признаку сходства прямоугольных треугольников следует, что эти треугольники не похожи, а значит имеют различные соответствующие острые углы. Итак, видимые составлены «гипотенузы» крупных «треугольников», на самом деле ломаными.

Угол наклона гипотенуз красного и синего треугольников к гипотенузы 13 × 5 треугольника очень мал и его трудно заметить невооруженным глазом. Но если присмотреться, то видно, что точка стыка гипотенуз красного и синего треугольников, формирует тупой угол, немного изогнутый вверх (наружу) нижнего «треугольника» и тупой угол изогнутый вниз (внутрь) верхнего "треугольника". Если наложить «гипотенузы» обеих фигур, то образуется параллелограмм, площадью равной одному квадратике.

Длины сторон фигур из данной задачи (2, 3, 5, 8, 13) являются последовательными числами Фибоначчи.

Подобная задача

В другой похожей головоломке, большой квадрат состоит из четырех одинаковых четырехугольников и маленького квадрата. Если четырехугольники развернуть, то они заполнят площадь, занимаемую маленьким квадратом, хотя площадь большого квадрата визуально не изменится. При следующем развороте маленький квадрат появится снова.

Решение

Этот парадокс объясняется тем, что сторона (и площадь) нового большого квадрата немного отличается от стороны (и площади) того, который был в начале. Если в качестве первой фигуры принять тот квадрат, внутри которого нет маленького ромба, дальнейший анализ заметно упростится.

Сторона начального квадрата пусть будет, и стороны составляющих его четырехугольников делят эту сторону по. Сведущий в геометрии легко сможет доказать, что построенные таким образом четырехугольники равны друг другу, имеют прямые углы в противоположных вершинах (в центре и по углам квадрата) и равные стороны, смежные в центре квадрата (т.е. не является ромбоидамы + для них существуют описанные окружности ( суммы противоположных углов равны)). Становится также понятно, что ромб в центре второй фигуры является квадратом.

Сторона маленького квадрата второй фигуры будет равна. Угол между парой противоположных сторон любой из составляющих четырехугольников (причем, не важно, парой) пусть будет обозначен. Его точное значение можно рассчитать методом координат, или методами классической геометрии.

Если каждый из четырехугольников, составляющих первый квадрат, повернуть на угол вокруг центра описанного около него окружности, то получится вторая фигура, с неокрашенные квадратной областью в центре. При следующем повороте вновь сложится первый квадрат. Площадь второго квадрата оказывается в разы больше площади первого (или, что то же, в раз). При это различие практически незаметно. Например, на пояснительных рисунках использован угол (соответственно ,. При этом разница между площадями больших квадратов составляет Уже такое различие сложно заметить, хотя значение (и, соответственно, значение угла) здесь используется отнюдь не маленькое. Таким образом, можно заключить, что ошибка , замаскированная в условия, заключается в том, что центры вращения составляющих четырехугольников находятся не там, где это представляется при визуальном контроле картинки (не в точках их пересечения диагоналей). Они находятся в вершинах квадрата, повернутого на угол — по первому квадрата, хотя его стороны параллельны сторонам другого.

Показать больше

Похожие статьи

Добавить комментарий

Проверьте также
Закрыть
Кнопка «Наверх»
Закрыть
Закрыть